机器数的表示方法

包括原码、反码、补码、移码的一些操作。

原码

用最高位表示符号（0——正，1——负），其他位表示数值的绝对值

例如：
x1=+45 ===> [x1]~原~ = 00101101B
x2= -45 ===> [x2]~原~ = 10101101B

在原码中，0的表示不唯一
[+0]~原~ = 00000000B
[- 0]~原~ = 10000000B

反码

• 用最高位表示符号（0——正，1——负）
• 正数的反码：与原码相同
• 负数的反码：符号位不变，其余位按位取反

例如：
x1=+45 ===> [x1]~原~ = 00101101B ===> [x1]~反~ = 00101101B
x2= -45 ===> [x2]~原~ = 10101101B ===> [x2]~反~ = 11010010B

在反码中，0的表示不唯一
[+0]~反~ = 00000000B
[- 0]~反~ = 11111111B

:star:补码

• 用最高位表示符号（0——正，1——负）

在补码中，0的表示唯一
[+0]~补~ = 00000000B
[- 0]~补~ = 00000000B

所以将剩下的[100…0]位表示为最大负数，-2^n^

补码的几种计算方式

本例中的取反+1等效于-1取反

第一种方法

• 正数的补码：和原码相同
• 负数的补码：符号位不变，==数值位按位取反== ，末位+1

例如：
x1=+45 ===> [x1]~原~ = 00101101B ===> [x1]~补~ = 00101101B
x2= -45 ===> [x2]~原~ = 10101101B ===> [x2]~补~ = 11010011B

第二种方法

• 正数的补码：和原码相同
• 负数的补码：从最低位（最右侧）起，到出现第一个1以前原码中的数字不变，以后逐位取反，符号位不变。

例如：
x1=-101 0111B   X2=-111 0000B
[x1]~原~ = 1101 0111B ===> [x1]~补~ = 1010 1001B
//最右侧起第一个1是右侧第一位，所以从右侧第二位起到符号位为止，中间的位全部取反

[x2]~原~ = 1111 0000B ===> [x2]~补~ = 1001 0000B
//最右侧起第一个1是右侧第5位，所以从右侧第一位到第五位不变，第六位起到符号位为止，中间全部取反

第三种方法

• 正数的补码：和原码相同
• 负数的补码：相对应的正数的补码全部取反（包括符号位），在末位+1

例如：
[x1] = -45  [-x1] = +45
[-x1]~补~ = [-x1]~原~ = 0010 1101B
[x1]~补~ = 11010011B

同样的，[-x1]_补也可以通过[x1]_补全部取反+1得到，说明一个数的正负补码可以互相通过全部位取反+1得到

例如：
已知一个数的补码为[1101 0011B]，那么由符号位为1可知该数为负，其正数的补码由全部位取反+1得到，为[0010 1101B]，算出十进制数为+45（相当于该数绝对值为45），已知原数为负，所以该数为-45.

第四种方法

• 正数的补码：和原码相同
• 负数的补码：【2^n^-|x|】的补（原）码（因为是正数）

例如：
求-7的补码，因为-7需要四位二进制表示[1111B]，所以2^n^=2^4^=16
那么2^4^-|-7|=9，所以-7的补码就是9的补码，即1001B

补码的运算

补码的符号位也参与运算
加法：[X+Y]~补~ = [X]~补~ + [Y]~补~
减法：[X-Y]~补~ = [X]~补~ + [-Y]~补~

补码的算术移位

符号位在移位时不变，正数左右移位都补0，负数向右移位空来的位补1，左移空出来的位补0

例如：
[X]~原~ = 1001 ==> [x]~补~ = 1111
右移一位（相当于除以2（位数越高越接近除以2））：1111 -> 1111 = 1001 = -1，因为1除以2余1
左移一位（相当于乘以2，同理）：1111 -> 1110 = 1010 = -2

✨当符号位与最高位（最左位）不同时，左移会溢出

例如：
0.1101~[补]~ = 0.1101~[原]~ = +13
那么左移乘以2应该为26，但26无法用4位二进制表示，所以溢出
0.1101左移后为0.1010 = +12 != 26

1.0110~[补]~ = 1.1010~[原]~ = -10
那么左移乘以2应该为-20，同样无法用4位二进制表示，所以溢出
1.0110左移后为1.1100~[补]~ = 1.0101~[原]~ = -5 != -20

移码

• 定义：[X]~移~ = 2^n^ +X (-2^n^ <= X <= 2^n^-1)
• 用最高位表示符号，其中1——正，0——负
• 移码的计算方法：补码的符号位取反，数值位不变

例如：
x = -4, [x]~原~ = 1100 -> [x]~补~ = 1100 -> [x]~移~ = 0100
or
2^n^ = 2^3^ = 8 = 1000, [x]~移~ = [8]~原~ + [x]~原~ = 1000+1100 = 0100

• 真值越大，对应的移码也越大

在移码中，0的表示是唯一的
[x]~移~ = 2^n^+0 = 1000…0

移码的加减运算
加法：[X]~移~ + [Y]~移~ = [X+Y]~补~ 然后符号位取反
减法：[X]~移~ - [Y]~移~ = [X-Y]~补~ 然后符号位取反